Inducción, Confirmación, Circulo de Viena, Wittgenstein y Gödel

En esta clase repasaremos sobre la inducción y confirmación y su relación con la filosofía del empirismo lógico y positivismo lógico, con su referente el circulo de Viena. Estudiaremos algunos aspectos básicos del pensamiento de Wittgenstein -que influyeron en el circulo de Viena- particularmente de su libro el Tractatus. Se  evaluara también la visión de la ciencia que tenia el filosofo Vienes y conceptos como la causalidad e induccion.

Se estudiara tambien la influencia del circulo de Viiena en  Gödel, y algunos aspectos basico de su pensamiento y los problemas filosoficos, cientificos y matematicos que se derivan de sus teorias. 

Reproduzco una interesante descripcion del articulo "Goedel y los límites de la Matemática I" (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/HistoriaMatematica/vernor/pag1.htm)

... " Cuenta Gödel que cuando ingresó en la Universidad de Viena, en 1924, su intención era graduarse en Física, pero al recibir clases del matemático Phillips Furtwängler, especialista en teoría de números, quedó tan impresionado que cambió la física por las matemáticas. Un maestro de Gödel, Hans Hahn, al que conocemos muy bien los que trabajamos en análisis funcional, pues su nombre va unido al de Stephan Banach, en el llamado teorema de Hahn-Banach, puso en contacto a Gödel con el famoso Círculo de Viena, entre cuyos componentes figuraban científicos relevantes, uno de ellos el mismo Hahn. En el año 1926, cuando Gödel se incorporó a este grupo, se reunían en un seminario de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Viena. Allí se dedicaban a construir una filosofía de la ciencia que se conoce ahora con el nombre de "positivismo lógico" y que sostiene que una afirmación para que tenga sentido ha de ser verificable por la experiencia física. Esto chocaba, obviamente, con el platonismo de Gödel. Por otra parte, los componentes del círculo de Viena eliminaron el concepto de Dios. Entonces Gödel a pesar de que les respetaba mucho científicamente, como era profundamente religioso, les abandonó."

 Incompletud, intuición, realismo y matemáticas.

El teorema de incompletud de Kurt Gödel muestra que no hay ningún método de prueba formal con el que poder demostrar todas las verdades de la matemática. Es decir, que existen aseveraciones cuya verdad o falsedad no vamos a poder demostrar, ya que es imposible decidirla dentro del mismo sistema. Si construimos un sistema formal suficientemente potente en que toda aseveración pueda decidirse como verdadera o falsa, entonces inevitablemente ese sistema contiene proposiciones contradictorias y paradójicas. Careaga (2002) afirma que el teorema de incompletud establece límites en la ciencia en lo que refiere a su conocimiento del mundo: “(…) existen aspectos que son imposibles de conocer debido a las limitaciones inherentes a cualquier sistema de conocimiento, incluido la ciencia misma. (…) Gödel fue el primero en demostrar rigurosamente esta aseveración y construyó su demostración usando el lenguaje preciso de la lógica simbólica”.[2]

Gödel trabajaba en efecto con sistemas formales (o cálculos) matemáticos y lógicos, los cuales son objetos de estudio en sí mismos. Veamos algunas definiciones, extraídas de la introducción de Rodríguez Consuegra a sus Ensayos Inéditos:

Sistema formal: conjunto de signos y las correspondientes reglas de formación de filas aceptables de ellos, o fórmulas, divididas estas en dos clases: axiomas (puntos de partida) y teoremas (derivables, demostrables a partir de los primeros, mediante la aplicación de reglas de inferencia explícitamente formuladas). La demostrabilidad se entiende en relación a un conjunto preciso de axiomas y reglas de inferencia.

El interés de los sistemas formales es variado: permiten formalizar ciertos lenguajes, pues su estructura está especificada, y permiten evitar paradojas.

Son propiedades metateóricas de los sistemas formales:

Su consistencia: Un cálculo es consistente cuando no es contradictorio, esto es, cuando no se da el caso de que una de sus fórmulas y su negación sean demostrables en él. Si es consistente, el sistema formal no llevará a teoremas contradictorios entre sí.

Su completud: Un cálculo es completo cuando cada una de sus fórmulas, o su negación, es demostrable en él. Por tanto, se puede demostrar que un cálculo es incompleto cuando no puede derivarse la negación o la afirmación de al menos una de sus fórmulas.

Su decidibilidad: Un cálculo es decidible cuando existe un procedimiento algorítmico (mecánico) mediante cuya aplicación (en un número finito de pasos) podemos determinar si cada una de sus fórmulas aceptables es o no demostrable en él (es decir, si es o no uno de sus teoremas).

El teorema de incompletud demuestra que si un sistema es consistente, entonces es incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente. Rodríguez Consuegra señala que la crítica filosófica de Gödel, que ya puede leerse en textos anteriores a su teorema de incompletud, “se dirige contra la supuesta creencia formalista de que la consistencia de un sistema de axiomas implica la existencia del correspondiente concepto matemático, sobre la base de que con ello se asume que todo problema es soluble, es decir, que no puede haber fórmulas indecidibles.”[3]

Gödel mostró así que la intuición era necesaria para fundamentar la matemática, y su teorema de incompletud se puede leer además como una tentativa de dar solidez a la idea del realismo de los objetos matemáticos. En efecto, si podemos probar que en un sistema formal consistente es posible derivar un teorema falso, entonces es que la prueba de consistencia no es suficiente para garantizar la existencia del correspondiente objeto matemático (que no puede ser contradictorio).

Tiene que ser por tanto la intuición matemática la que sirva de guía en la construcción de sistemas formales.

Podemos deducir ahora las implicaciones filosóficas del teorema:

a) la verdad matemática objetiva se opone a la mera demostrabilidad (argumento favorable al platonismo).

b) no hay posibilidad de construir un sistema global único para la matemática formalizada (argumento en contra del logicismo y el formalismo).

c) no existe ningún algoritmo posible al que reducir la matemática, lo que nos lleva a pensar que la mente humana supera cualquier formalismo.

d) Gödel insistió en las implicaciones realistas, que hacen hincapié en el carácter objetivo de los conceptos matemáticos (número, conjunto, etcétera…), que rebasan cualquier intento de formalización completa. Podemos decir por tanto que los conceptos matemáticos son objetos, y eso hace obstáculo a la formalización o logificación.

El platonismo, y por tanto la posición de Gödel, tiene sin embargo una dificultad epistemológica fundamental: la explicación del acceso a las supuestas entidades matemáticas es todavía problemática, no sabemos cómo se produce.

Lecturas:

Del libro "An introduction to the philosophy of science", el capitulo 3 Induction and confirmation, de la pagina 39 a 46. 

Del Tractatus (Wittgenstein) 1 a 20.13, 2.063, 2.1, 2.11, 2.12,  6.3, 6.31, 6.32, 6.321, 6.3211, 6.34, 6.341, 6.342,  6.343, 6.3431, 6.3432 6.35, 6.36 

El articulo "El Teorema de Incompletitud de Godel  Version para no iniciados" de  Claudio Gutierrez

Los otros documentos los pueden consultar como referencia, que son: Reflexiones filosoficas del teorema de Godel,  la mente nueva del emperador de Penrose y Ciencia en el tractatus. 

El enlace para descargar los archivos es el siguiente:

Lecturas